三角形三边关系

三角形三边之间的关系：三角形中，任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。若三角形的三边分别为a，b，c，那么可以得到a+b＞c、a+c＞b、b+c＞a，反之若要使得a、b、c成为三角形的三边，那么需要同时满足上述三个条件，由此可以检验任意的三条线段能否构成三角形。

类型一：已知三边

例题1：已知三角形三条边分别为a+4，a+5，a+6，求a的取值范围．

分析：此题主要考查了三角形的三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

解：由题意得：a+4+a+5＞a+6，解之得：a＞-3，

例题2：现有四根长度分别为4cm、5cm、6cm、9cm的木棒，从中任取三根，能组成三角形的有（ ）

分析：考查三角形的边，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．当题目指代不明时，一定要分情况讨论，把符合条件的保留下来，不符合的舍去．

解：①取4cm，5cm，6cm；由于4+5＞6，能构成三角形；

②取6cm，5cm，9cm；由于5+6＞9，能构成三角形；

③取6cm，4cm，9cm；由于4+6＞9，能构成三角形；

所以有3种方案符合要求．

4个数据中任意取3个数据，一共有四种情况，还有一种4+5=9，不符合条件，不能构成三角形。

类型二：已知两边

例题3：长度分别为3，8，x的三条线段能组成一个三角形，求x的取值范围

分析：根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．

解：8-3＜x＜8+3，5＜x＜11

例题4：若等腰三角形的底边长为10cm，求腰长x cm的取值范围

解：∵等腰三角形的底边长10cm，等腰三角形的两腰相等，且三角形中任意两边之和大于第三边，∴2x＞10，∴x＞5．

例题5：等腰三角形的周长为60厘米，求腰长x cm的取值范围

分析：根据：底边长+两腰长=周长，建立等量关系，根据三角形两边之和大于第三边及周长的限制，确定x的取值范围．

解：由题意得：x+x＞2x+60，2x+60＞0，解之得：15＜x＜30．

类型三：三边未知

例题6：周长是100，边长是整数的等腰三角形一共有多少个？

分析：设腰长为a，则底边长为100-2a，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系列不等式求解即可．

解：设腰长为a，则底边长为100-2a，因为周长为100，所以2a＜100，因为2a＞100-2a，所以100-2a＜2a＜100，因为25＜a＜50，又因为边长为整数，所以这样的等腰三角形有24种。