你不知道的阶乘阶乘，有数学基础的人都很熟悉。简单理解就是数的乘法。10的阶乘是10！=10*9*8*7*6*5*4*3*2*1。但是我们有没有想过，比如，如何计算分数的阶乘？有没有办法估计一个数的阶乘？
其实1/2的阶乘等于π的平方根的一半。本文试图从两个方面来寻找这个方程。每一种都很聪明，可以打开数学思维。一种是利用极限和多项式，另一种是利用伽玛函数。让我们证明这个等式。
首先，我们来证明沃利斯公式。
Sin x有无穷多个0，π，2π，3π，.如果一个多项式有几个零点x1、x2、x3、x4、xn，那么该多项式可以表示为
Sin x可以大胆拓展
将x=π/2代入上述公式，我们可以得到
最终得到
上面的公式就是沃利斯公式。这个证明方法不是特别严格。沃利斯还通过求弧下面积证明了沃利斯公式。参见参考链接“论神奇的伽马函数”。
证明沃利斯公式，然后估计n！，得到n阶乘的一般形式，然后求1/2阶乘。欧拉用无穷乘积给出n！的插值公式。
将极限形式改为
整理配方
然后证明了n的阶乘的插值公式，可以看出这个公式同样适用于n是分数的情况，n=1/2代入。
令人惊讶的是，可以发现根号中的公式与沃利斯公式几乎相同，只是第一个因子2乘以的数值少了一些。将沃利斯公式代入上述公式
这样，我们就找到了1/2阶乘的值。
阶乘与gamma函数
伽马函数的一般形式是
使用零件积分，可以得出以下结论
所以你可以
那么伽马函数的一般形式是如何得到的呢？欧拉通过n的阶乘推导出γ函数的一般形式，由于π存在于1/2阶乘的结果中，欧拉自然认为阶乘的计算会与积分有关，并提出如下一般积分形式:
其中n是正整数，e是正实数，通过分部积分得到。
通过反复迭代上面的公式，我们可以得到
然后你可以得到求n的阶乘的公式
现在n的阶乘已经成功地用整数的形式表示出来了，但是因为n是整数，所以公式的非整数部分不能概括分数的情况，所以要继续简化公式。
为了让一个量从数学方程中消失，数学家通常会对这个量取一个极值。这里e趋于无穷大。取e = f/g。
然后使f趋向于1，g趋向于0。左边明显倾向于n的阶乘，右边需要简化计算使x等于t的h次方，其中h=g/(f+g)。
当F趋向于1，G趋向于0，H明显趋向于0时，利用罗必达定律可以得到常用的极限。
同时拿下两边的极限，见证奇迹的时刻。
伽玛函数的一般形式是由n的阶乘导出的。
让我们用伽玛函数来求1/2的阶乘。
因为伽玛函数的阶乘形式只满足n为正整数的条件，所以我们要通过伽玛函数的一般形式来计算1/2的阶乘。我们将n=-1/2代入伽马函数的一般表达式
仔细观察函数部分类似于某种分布的概率密度函数，是正态分布。正态分布的概率密度函数为
正态分布的概率密度函数中有很多参数，不方便我们观察。我们取正态分布的标准形式，即μ取0，σ取1，那么正态分布的概率密度函数就变成了
关于Y轴对称，大于0的部分积分是1/2，我们可以得到
设x = √(2t)代入上式。
令人惊讶的是，我发现整数部分包含了我们所寻求的(1/2 ),所以我得到了
既然已经找到了(1/2)，那就很容易找到1/2的阶乘，也就是(3/2)，因为
我们可以断定
本文只简单介绍伽玛函数，后面的文章会介绍伽玛函数相关的伽玛分布和贝塔分布。
参考链接:
2014年http://www.flickering.cn//June的数学之美/神奇的伽马函数/
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