同角的余角相等

说错一句话，引出新方法

教师在课堂上的教学语言，是学生课堂接收信息的主要载体，教学语言必须精简准确，学生学习才有可能高效，而数学教师的用语更必须符合数学规范，同时还要贴近学生认知，即用浅显规范的语言描述数学。规范通常是指数学语言，例如读题、绘图等场合下，而浅显则多用于引导、评价、总结等情景。

在九年级上册《圆》这一章中，关于弦切角定理的证明环节，却因为一个小意外，引出了一种新方法。

弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。

已知：AD是⊙O的切线，AB为经过切点的弦，点C为优弧AB上任意一点，连接AC

求证：∠DAB=∠ACB

在引导学生思考证明方法的时候，我的思维是连接AO并延长，构造直径AC以及它所对的圆周角，同时将∠ACB转化成特殊位置的圆周角从而方便寻找它与∠DAB之间的等量关系，如下图：

如何引导学生？我联想到了在证明圆周角与圆心角关系时，通过构造特殊圆周角的方法，让∠ACB这个圆周角先转换成一条边为直径的圆周角，然后通过直径所对的圆周角是直角，以及切线垂直于经过切点的半径，出现两个直角，于是根据同角的余角相等，轻松得出结论。思维线为弦切角与任意圆周角——>弦切角与特殊圆周角——>构造两个直角——>同角的余角相等。

于是便说出了导致意外的那句引导语：“我们在证明圆周角与圆心角关系时曾经用过一类方法，请大家回忆一下，然后再思考本题如何证明。”

大概2分钟后，一位学生举手，我便请他描述方法，可是他第一句话便令我十分意外，几乎以为他错了。

学生说：“连接OA，OB。”

我看他表情似乎是胸有成竹，于是便示意他继续。

他接着说：“设∠ACB=x，于是∠AOB=2x，在等腰△AOB中，算出∠BAO=90°-x，而AD与⊙O相切，于是∠OAD=90°，因此∠BAD=90°-x，那么∠ACB=∠BAD。”如下图：

我认为他回答得非常漂亮，大力表扬了一番。其实我认为，这位学生的思维之所以走了另一条路，在于我的引导语中“圆周角和圆心角的关系”，这句话并没能勾起他对当初构造特殊圆周角方法的回忆，反倒直接触发了圆心角与圆周角最直观的几何图形，同弧所对的一对。

虽然证明方法是正确的，但对于我的引导目标而言却是失败的。失败原因有二，首先是表述不清，应该更清楚地说明我的目标是想构造一个特殊的圆周角，以更方便观察它与弦切角的数量关系，其次是这位学生的记忆中，同弧所对的圆心角与圆周角十分深刻，与引导语“一拍即合”。

他的证明方法中还有一个亮点，就是用代数方法表示一个角，然后寻求数量关系，这十分难得，通过图中构造的等腰三角形完成数量关系的转换，对代数恒等变换有一定要求。

在课堂小结中，我让班上学生自己评价这两种方法，结果学生们一致认为，第一种方法理解起来容易得多，而第二种方法涉及代数变换，学生们普遍感受不那么容易。

我的反思：

课堂上的教学语言一定要清晰地表达出教师意图，不能带有误导性，否则容易把学生带偏。对于课堂上的“意外生成”，一定要重视，该纠偏的要纠偏，该肯定的要肯定，事后要追溯生成原因，不留隐患。教师思维与学生思维往往是两根线（未必是直线），很多时候我们渴望它们能重合，而事实上最多有一些交点，多数时候学生脑子里想的并不是教师希望他们想的，极端情况也有，那便是学生思维与教师思维成了一组平行线。最后，一定要鼓励学生大胆创新，虽然剑走偏锋，但精神可嘉。